С помощью выделения полных квадратов получить каноническое уравнение линии

Привести к каноническому виду - Калькулятор с подробным решением онлайн

2.7 Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду (с помощью выделения полного квадрата)

Рассмотрим случай, когда в общем уравнении (2.13) Отсутствует слагаемое с произведением координат, т. е. В = 0. Начнем с рассмотрения примера.

Пример 2.5. Привести к каноническому виду уравнение кривой

4X2 – 4X – Y2 + 2Y + 1 = 0.

Решение. Выделим полные квадраты:

4(X2 – X) – (Y2 – 2Y) + 1 = 0;

4((X – 0,5)2 – 0,25) – ((Y – 1)2 – 1) + 1 = 0;

4(X – 0,5)2 – 1 –(Y – 1)2 + 1 + 1 = 0

Или окончательно

Получили гиперболу с центром в точке (0,5;1), с действительной полуосью B = 1, мнимой полуосью А = 0,5.

Выделяя полные квадраты, исходное уравнение (2.13), где коэффициент В = 0, можно привести к одному из следующих видов (мы здесь опустим случай вырождения):

Или

(X – X0)2 = ±2P(Y – Y0),

(Y – Y0)2 = ±2P(X – X0).

Первые два уравнения определяют эллипс и гиперболы, центр симметрии которых находится в точке (X0, Y0), а оси симметрии параллельны осям координат.

Два последних уравнения – это параболы, вершина которых смещена из начала координат в точку (X0, Y0), а ось симметрии либо параллельна оси ОY, либо оси ОХ.

Введем теперь на плоскости новую систему координат ХОY (см. пунктир на рисунке 2.8), с новым началом координат в точке(X0, Y0) и осями ОХ, ОY, параллельными ОХ и ОY.

Произвольная точка М (Х, У) получит "новые координаты" М(Х, Y), причем связь между "новыми" и "старыми" координатами задается формулами:

X = X – X0 или X = X + X0;

Y = Y – Y0 или Y = Y + Y0. (2.15)

Рисунок 2.8

Такое преобразование системы координат называется Параллельным Переносом (сдвигом). В этой "новой" системе координат уравнения кривых примут уже знакомый нам канонический вид:

Mathway | Популярные задачи

Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач

Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

Понятие канонического уравнения прямой

Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M1(x1, y1), а также ее направляющего вектора a→=(ax, ay). Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

Возьмем плавающую точку M(x, y). Тогда вектор M1M→ можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны  x-x1, y-y1 (если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

Множество произвольно взятых точек M(x, 

Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при и вынесем за скобки: .

Выделим полный квадрат: . Отсюда . Разделим обе части равенства на 25: . Запишем полученное уравнение в каноническом виде: .

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам . При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид .

В нашем примере , , , .

Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и .

Рис. 13

Пример 2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

Уравнение прямой

Линия - это бесконечная линия, которая образует кратчайший путь между любой из двух своих точек.

Уравнение прямой на плоскости

Общий вид линейного уравнения

Любое уравнение прямой на плоскости можно записать в общем виде

А х + В у + С = 0

, где A и B не равны нулю.

Форма пересечения линии уклона

Общее уравнение прямой при B ≠ 0 можно привести к следующему виду

у = к х + Ь

, где k - наклон линии , а b - точка пересечения оси y . Наклон прямой равен тангенсу угла между этой линией и положительным направлением оси x. Координата y - это место, где линия пересекает ось y.

k = tg φ

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки на плоскости

Если линия проходит через две точки A (x ₁ , y ₁ ) и B (x ₂ , y ₂ ), так что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂ , тогда уравнение линии можно найти по следующей формуле

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Параметрическое уравнение линии можно записать как

где N (x ₀ , y ₀ ) - координаты точки, лежащей на прямой, a = {l, m} - координаты вектора направления линии.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если вам известны координаты точки A (x ₀ , y ₀ ) Если вам известны координаты точки n = {l; m}, то уравнение прямой можно записать в канонической форме с помощью следующей формулы

Пример 1. Найдите уравнение прямой, проходящей через две точки A (1, 7) и B (2, 3).

Решение. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки

х - 12 - 1 = у - 73 - 7

Из этого уравнения выразим y через x

х - 11 = у - 7-4

Найдите форму пересечения кривой для линейного уравнения.

Умножьте уравнения на -4.

у - 7 = -4 (х - 1)

г = -4x + 11

Найдите параметрические уравнения этой строки

Мы используем MN как вектор направления линии.

МН = {2 - 1; 3–7} = {1; -4}

Используем координаты точки М в параметрических уравнениях линии

х = т + 1у = -4т + 7

Решение. Невозможно использовать Уравнение прямой, проходящей через две разные точки, так как M _y - N _y = 0.

Найдите параметрические уравнения этой прямой. Мы используем MN как вектор направления линии.

МН = {2 - 1; 3–3} = {1; 0}

Используем координаты точки М в параметрических уравнениях линии

х = т + 1у = 3

Уравнение линии в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки в пространстве

Если линия проходит через две точки A (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и B (x ₂ , y ₂ , z ₂ ), то есть x ₁ ≠ x ₂ , y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂ , тогда уравнение линии может быть найдено по следующей формуле

Параметрические уравнения линии в пространстве

Параметрическое уравнение линии можно записать как

где (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) - координаты точки, лежащей на линии, {l; м; n} - координаты вектора направления линии.

Каноническое уравнение линии в пространстве

Если известны координаты точки A (x ₀ , y ₀ , z ₀ ), лежащей на прямой, и вектор направления этой прямой n = {l; м; n}, то уравнение прямой можно записать в канонической форме с помощью следующей формулы.

Прямая как пересечение двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то уравнение прямой может быть найдено как решение следующей системы уравнений

при условии отсутствия равенства

Уравнение прямой

Уравнение прямой обычно записывают так:

(или "y = mx + c" в Великобритании см. ниже)

Что это означает?

y = насколько выше

x = расстояние от

м = Наклон или градиент (насколько крутая линия)

b = значение y , когда x = 0

Как найти «м» и «б»?

• b легко: просто посмотрите, где линия пересекает ось Y.
• м (Уклон) требует расчета:

Зная это, мы можем составить уравнение прямой:

Пример 1

м = 2 1 = 2

b = 1 (значение y при x = 0)

Итак: y = 2x + 1

Теперь вы можете воспользоваться этим уравнением...

... выберите любое значение для x и найдите соответствующее значение для y

Например, когда x равно 1:

y = 2 × 1 + 1 = 3

Убедитесь сами, что x = 1 и y = 3 действительно на линии.

Или мы могли бы выбрать другое значение для x, например 7:

y = 2 × 7 + 1 = 15

Итак, когда x = 7, у вас будет y = 15

Положительный или отрицательный наклон?

Двигаясь слева направо, велосипедист должен пройти P проезд по оси P Угол наклона:

Пример 2

м = −3 1 = −3

b = 0

Это дает нам y = −3x + 0

Нам ноль не нужен!

Итак: y = −3x

Пример 3: Вертикальная линия

Какое уравнение представляет собой вертикальная линия?
Наклон undefined ... а где он пересекает ось Y?

Фактически, это особый случай , и вы используете другое уравнение, а не « y = ...», а вместо этого используете « x = ...».

Как это:

x = 1,5

Каждая точка на линии имеет координату x 1,5 ,
, поэтому ее уравнение составляет x = 1,5

Взлетай и беги

Иногда используются слова «взлетать» и «бегать».

• Рост - насколько далеко вверх
• Run - это расстояние вдоль

Итак, уклон «м» равен:

м = подъем пробег

Возможно, вам будет легче запомнить.

Другие формы

Мы смотрели на форму «наклон-пересечение». Уравнение прямой может быть записано многими другими способами .

Еще одна популярная форма - это уравнение прямой и наклонной линии.

Сноска

Страна Примечание:

В разных странах учат разным "обозначениям" (прислал мне добрые читатели):

... но все это означает одно и то же, только разные буквы.

Как найти уравнения касательных и нормальных прямых

Краткий обзор

• Чтобы найти уравнение прямой, вам нужны точка и наклон.
• Наклон касательной - это значение производной в точке касания.
• Нормальная линия - это линия, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.2) = 12 $$

  Наклон касательной составляет $$ m = 12 $$.

  Шаг 3

  Найдите форму "точка-наклон" прямой с уклоном $$ m = 12 $$ через точку $$ (2,8) $$.

  $$ \ begin {align *} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ [6pt] у - 8 & = 12 (х-2) \ end {выровнять *} $$

  Ответ

  $$ y - 8 = 12 (x-2) $$

  Для справки, вот график функции и касательная, которую мы только что нашли.2 - х $$. Найдите уравнение касательной с наклоном $$ m = -3 $$.

  Шаг 1 .

  Регрессия наименьших квадратов

  Линия Best Fit

  Представьте, что у вас есть несколько точек, и вы хотите иметь линию , которая лучше всего им подходит, вот так:

  
  

  Мы можем разместить линию «на глаз»: постарайтесь, чтобы линия была как можно ближе ко всем точкам, и одинаковое количество точек выше и ниже линии.

  Но для большей точности давайте посмотрим, как вычислить линию с помощью регрессии наименьших квадратов .

  Линия

  Наша цель - вычислить значения м (уклон) и b (пересечение оси y) в уравнении прямой:

  Где:

  • y = насколько далеко вверх
  • x = расстояние до
  • м = уклон или градиент (насколько крутая линия)
  • b = точка пересечения Y (линия пересекает ось Y)

  Ступени

  Чтобы найти наиболее подходящую линию для N баллов:

  Шаг 1 : Для каждой точки (x, y) вычислить x ² и xy

  Шаг 2 : Суммируйте все x, y, x ² и xy, что дает нам Σx, Σy, Σx ² и Σxy (Σ означает «суммировать»)

  Шаг 3 : Расчет уклона м :

  м = N Σ (xy) - Σx Σy N Σ (x ² ) - (Σx) ²

  (N - количество баллов.)

  Шаг 4 : Вычислить точку пересечения b :

  b = Σy - m Σx N

  Шаг 5 : Составьте уравнение прямой

  y = mx + b

  Готово!

  Пример

  Давайте посмотрим, как это сделать!

  Пример: Сэм нашел, сколько часов солнечного света и сколько мороженого было продано в магазине с понедельника по пятницу:

  "x" часов солнечного света	"y" Продано мороженого
  2	4
  3	5
  5	7
  7	10
  9	15

  Давайте найдем лучшие м (наклон) и b (пересечение оси Y), которые подходят этим данным

  y = mx + b

  Шаг 1 : Для каждого (x, y) вычислить x ² и xy:

  x	y	х 2	xy
  2	4	4	8
  3	5	9	15
  5	7	25	35
  7	10	49	70
  9	15	81	135

  Шаг 2 : Сумма x, y, x ² и xy (дает нам Σx, Σy, Σx ² и Σxy):

  x	y	х 2	xy
  2	4	4	8
  3	5	9	15
  5	7	25	35
  7	10	49	70
  9	15	81	135
  Σx: 26	Σy: 41	Σx 2 : 168	Σxy: 263

  Также N (количество значений данных) = 5

  Шаг 3 : Расчет уклона м :

  м = N Σ (xy) - Σx Σy N Σ (x ² ) - (Σx) ²

  = 5 x 263 - 26 x 41 5 x 168 - 26 ²

  = 1315-1066 840-676

  = 249 164 = 1.5183 ...

  Шаг 4 : Вычислить точку пересечения b :

  б = Σy - м Σx N

  = 41 - 1,5 183 х 26 5

  = 0,3049 ...

  Шаг 5 : Составьте уравнение линии:

  y = mx + b

  y = 1,518x + 0,305

  Посмотрим, как это работает:

  x	y	у = 1.518x + 0,305	ошибка
  2	4	3,34	-0,66
  3	5	4,86 ​​	-0,14
  5	7	7,89	0,89
  7	10	10,93	0,93
  9	15	13.97	-1,03

  Вот точки (x, y) и линия y = 1,518x + 0,305 на графике:

  Прекрасно подходит!

  Сэм слышит прогноз погоды, который гласит: «Мы ожидаем, что завтра будет 8 часов солнца», поэтому он использует приведенное выше уравнение, чтобы оценить, что он продаст

  y = 1,518 x 8 + 0,305 = 12,45 Мороженое

  Сэм на всякий случай готовит смесь из свежих вафельных рожков для 14 видов мороженого. Ням.

  Как это работает?

  Он работает, делая сумму квадратов ошибок как можно меньше (поэтому это называется "наименьшими квадратами"):

  
  Прямая минимизирует сумму квадратов ошибок

  Итак, когда мы возведем в квадрат каждую из этих ошибок и сложим их все, общая сумма будет как можно меньше.

  Вы можете представить (но не точно) каждую точку данных, соединенную пружинами с прямым стержнем:

  
  Боинг!

  Выбросы

  Будьте осторожны! Метод наименьших квадратов чувствителен к выбросам. Странное значение потянет к нему линию.

  Используйте приложение

  Поиграйте с калькулятором наименьших квадратов

  Не только для линий

  Эта идея может использоваться не только в линиях, но и во многих других областях.

  
  "Круг наилучшего совпадения"

  Но формулы (и предпринятые шаги) будут совсем другими!

  .

  Исчисление III - Уравнения плоскостей

  Онлайн-заметки Павла

  Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы с практикой
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Уравнения линий
  • Поверхности Quadric
  • Разделы
  • Частные производные
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор
  • Распространенные математические ошибки
  • Праймер для комплексных чисел
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои студенты
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Practice Problems Загрузок
  • Полная книга - Только проблемы
  • Полная книга - Решения
  • Текущая глава - Только проблемы
  • Текущая глава - Решения
  • Текущий раздел - Только проблемы
  • Текущий раздел - Решения
  • Проблемы с назначением Загрузок
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Прочие товары
  • Получить URL для загружаемых элементов
  • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • Алгебра
    • Предварительные мероприятия
      • Целые экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • Полиномы
      • Факторинговые многочлены
      • Рациональные выражения
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и наборы решений
      • Линейные уравнения
      • Приложения линейных уравнений
      • Уравнения с более чем одной переменной
      • Квадратные уравнения - Часть I
      • Квадратные уравнения - Часть II
      • Квадратные уравнения: сводка
      • Приложения квадратных уравнений
      • Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
      • Уравнения с радикалами
      • Линейные неравенства
      • Полиномиальные неравенства
      • Рациональные неравенства
      • Уравнения абсолютных значений
      • Неравенства абсолютных значений
    • Графики и функции
      • Графики
      • Строки
      • Круги
      • Определение функции
      • Графические функции
      • Комбинирование функций
      • Обратные функции
    • Общие графы
      • Прямые, окружности и кусочные функции
      • Параболы
      • Эллипсы
      • Гиперболы
      • Разные функции
      • Преобразования
      • Симметрия
      • Рациональные функции
    • Полиномиальные функции
      • Делительные многочлены
      • Нули / корни многочленов
      • Графические полиномы
      • Нахождение нулей многочленов
      • Частичные дроби
    • Экспоненциальные и логарифмические функции
      • Экспоненциальные функции
      • Логарифмических функций
      • Решение экспоненциальных уравнений
      • Решение логарифмических уравнений
      • Приложения
    • Системы уравнений
  .

  Найдите уравнение прямой, зная две точки, через которые она проходит

  Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике ... Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степень комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование длины, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансовМатематика, Практика полиномов по математике, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа с сложением, Вычитание числа Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с помощью GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

  .

  ---

  Смотрите также

  • 
    У ребенка белые выделения из попы
  • 
    Выделения во время стимуляции эко
  • 
    Белые желейные выделения у женщин
  • 
    После отслойки бежевые выделения
  • 
    Выделения белого цвета и зуд
  • 
    Предпосылки для выделения фармакогнозии в самостоятельную науку
  • 
    Выделение газа наблюдается при взаимодействии растворов
  • 
    Почему желтые выделения у женщин
  • 
    Быстрое химическое превращение среды сопровождающееся выделением энергии
  • 
    Кровяные выделения это что
  • 
    Полупрозрачные выделения без запаха