Выделение действительной и мнимой части

Понятие функции комплексного переменного — Студопедия

Если каждому комплексному числу  поставлено в соответствие некоторое комплексное число , то говорят, что в области  определена комплексная функция .

Задача 6. Дано . Найти .

Решение. Подставим в заданную функцию  значения: , .

(домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю)

.

Задача 7. Дана функция , где . Тогда

Решение. По условию  - действительная часть числа ,  - мнимая часть.

Тогда .

Пусть , а . Тогда функция  может быть представлена с помощью двух действительных функций  и , зависящих от действительных переменных  и :

,

где  - действительная часть функции ,

 - мнимая часть функции .

Задача 8.Найти действительную и мнимую часть функции .

Решение. , тогда

.

Таким образом , .

Основные элементарные функции комплексной переменной.

1) Показательная функция.

.                      (15)

, .

Пример.Найти действительную и мнимую части числа .

Решение.   

,  (в радианах).

Запишем  в тригонометрической форме:

,

(напомним, что , )

Тогда , .

2) Тригонометрические функции.

Используя разложение в ряд Тейлора функций , , , найдем разложение следующих функций:

                                                                                  (16)

                  (17)

                                                       (18)

                                                        (19)

                                                                                            (20)

                                                                                            (21)

Заметим, что

(22)

,

(домножим числитель и знаменатель на )

 (23)

Тогда можно вывести формулы  и .

Пример.Найти действительную и мнимую часть числа .

Решение. Воспользуемся формулами:

,

.

Тогда:

.

, .

3) Гиперболические функции.

; ;

; .                                                      (24)

4) Логарифмическая функция.

                                             (25)

Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается . Таким образом,

.                                                                 (26)

Видно, что функция  имеет множество значений, отличающихся друг отдруга на .

Пример.Найти действительную и мнимую часть числа .

Решение. , т.е. , .

.

.

Т.к.  и  лежит в первом квадранте, т.е. .

;   .

5) Общая степенная  и общая показательная  функции:

а) ,           б)  .                                                                (27)

Обе функции имеют множество значений, поскольку в формулу их вычисления входит функция  или , которая сама по себе имеет множество значений.

Аналогично определяется .

Пример. Найти действительную и мнимую часть числа .

Решение. .

Преобразуем ; ,

, ,

.

=

.

, .

Присваивание действительной и мнимой частей сложного массива из двух массивов, содержащих две части - Python

1. Около
2. Товары
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

Matlab - Как разделить реальную и мнимую части передаточной функции?

1. Около
2. Товары
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями

Комплексные числа

Комплексный номер

Комплексное число - это комбинация действительного числа
и мнимого числа

Реальные числа - это числа вроде:

Практически любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!

Мнимые числа при возведении в квадрат дают отрицательный результат .

Обычно этого не происходит, потому что:

Но только представьте, что такие числа существуют, потому что мы хотим их.

Давайте поговорим еще о мнимых числах ...

«Единичное» мнимое число (например, 1 для действительных чисел) - это i, что является квадратным корнем из −1

Потому что, возводя i в квадрат, мы получаем −1

я ² = -1

Примеры мнимых чисел:

И мы оставляем там маленькое «i», чтобы напомнить нам, что нам нужно умножить на √ − 1

Комплексные числа

Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :

Примеры:

Может ли число быть комбинацией двух чисел?

Можем ли мы составить одно число из двух других чисел? Мы можем точно!

Мы постоянно делаем это с дробями.Дробь ³ / ₈ - это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».

Ну, комплексное число - это всего лишь , два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).

Любая часть может быть нулевой

Итак, комплексное число имеет действительную и мнимую части.

Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные числа и мнимые числа также являются комплексными числами.

Сложно?

Сложный не означает сложный.

Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , точно так же, как комплекс зданий (здания, соединенные вместе).

A Визуальное объяснение

Вы знаете, как проходит числовая линия слева направо ?

Что ж, пусть воображаемые числа идут вверх-вниз :

И получаем сложный самолет

Комплексное число теперь может отображаться как точка:

Комплексный номер 3 + 4 и

Добавление

Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:

(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i

Пример: сложите комплексные числа 3 + 2 i и 1 + 7 i

• сложите действительные числа и
• сложите мнимые числа:

(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i

Попробуем еще:

Пример: сложите комплексные числа 3 + 5 i и 4 - 3 i

(3 + 5 i ) + (4 - 3 i )
= 3 + 4 + (5 - 3) i
= 7 + 2 i

В комплексной плоскости это:

Умножение

Для умножения комплексных чисел:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа

Просто используйте "FOIL", что означает " F irsts, O uters, I nners, L assts" (см. Биномиальное умножение для более подробной информации):

Как это:

Пример: (3 + 2i) (1 + 7i)

(3 + 2i) (1 + 7i) = 3 × 1 + 3 × 7i + 2i × 1 + 2i × 7i

= 3 + 21i + 2i + 14i ²

= 3 + 21i + 2i - 14 (потому что i ² = −1)

= −11 + 23i

А это:

Пример: (1 + i) ²

(1 + я) (1 + я) = 1 × 1 + 1 × я + 1 × я + я ²

= 1 + 2i - 1 (поскольку i ² = −1)

= 0 + 2i

Но есть способ быстрее!

Используйте это правило:

(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i

Пример: (3 + 2i) (1 + 7i) = (3 × 1-2 × 7) + (3 × 7 + 2 × 1) i = −11 + 23i

Почему это правило работает?

Это просто метод "ФОЛЬГА" после небольшой работы:

(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i ² FOIL method

= ac + ad i + bc i - bd (потому что i ² = −1)

= (ac - bd) + (ad + bc) i (собирает похожие термины)

И вот у нас есть шаблон (ac - bd) + (ad + bc) i .

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Давайте попробуем i ²

Ради интереса воспользуемся методом вычисления i ²

Пример: i ²

Мы можем записать i с действительной и мнимой частью как 0 + i

i ² = (0 + i) ² = (0 + i) (0 + i)

= (0 × 0 - 1 × 1) + (0 × 1 + 1 × 0) и

= −1 + 0 и

= −1

И это хорошо согласуется с определением, что i ² = −1

Так что все работает замечательно!

Узнайте больше в разделе «Умножение комплексных чисел».

Конъюгаты

Нам нужно будет узнать о конъюгатах через минуту!

Сопряжение - это где мы меняем знак в середине вот так:

Сопряжение часто пишется с чертой над ним:

Пример:

5 - 3 i = 5 + 3 i

Деление

Конъюгат используется для облегчения сложного деления.

Уловка состоит в том, чтобы умножить верхний и нижний на , сопряженный с нижним .

Пример: Сделайте это Подразделение:

2 + 3 i 4-5 i

Умножить верхнюю и нижнюю на конъюгат 4-5 i :