Выделение главной части бесконечно большой функции

3.3. Метод выделения главной части функции

Определение 1. Функция называется Малой более высокого Порядка по сравнению с функцией при , если и и обозначается .

Примеры. 1. при , т. к. . Заметим, что при : ~, . Число назы-вается Порядком малости функции .

Определение 2. Функция называется Большой более высокого Порядка по сравнению с функцией при , если и .

2. при , т. к. .

Определение 3. Функция называется Главной частью функции при , если она представима при в виде .

При этом, функции и называются Эквивалент-ными при и обозначаются ~ .

Теорема 1. Для того чтобы функции и были экви-валентными при необходимо и достаточно, чтобы

=1.

Теорема 2. Следующие функции эквивалентными между собой при

~ ~ ~ ~ ~ .

Первые три соотношения следуют из 1-го замечательного предела и его следствий, а четвертое и пятое - из следствий 2-го замечательного предела.

Теорема 3. ~ при .

Применим первый замечательный предел и формулу бинома Ньютона к тождеству

~ ~ при .

Выделение главной части функции значительно упрощает вычисление пределов.

Примеры.

Поскольку ~ , ~ , ~ , ~ ~ , ~ , то . Наконец, ~ , ~ при , то

Т. к. ~, ~ 3, то .

3. .

Здесь нельзя использовать эквивалентные функции: ~, т. к. получим неопределенность. Преобразуем основание степени

Тогда,

Замечание. Последний пример продемонстрировал, что методом выделения главной части функции следует обращаться осторожно. Может оказаться, что решающую роль играет не главная часть функции, а другие ее части.

< Предыдущая		Следующая >

Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов

Содержание:

Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов

Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов. Дадим функции. Если функция P всех x∈X может быть выражена в виде Р(х)= а (Х)+ О(а(Х)), Х> Х、 В свою очередь, функция a называется основной частью функции при x> x0. Образцы. 1. поскольку x ^8m x = x + o(x), функция 8m x из x ^равна X. 2. Пн (х)= apxn + … + а х + а apΦ, функция apnnn является главной частью многочлена РП (х) в Х>. потому что Pn (x)= apnn + o (xn) для x>^. 267. Функция P. учитывая X ^ K, основная часть x ^ x не определена однозначно. Согласно теореме 1, p-эквивалентная функция X> X0, a, является основной частью x> X0.

Однако, если вы запросите определенный тип основной детали, этот разумный выбор может гарантировать, что основная часть указанного типа определена однозначно. Людмила Фирмаль

Например, P = x + x2 + x3.С другой стороны, x2 + x3 = o (x) для x^, P = x + o (x) для x^ и xP = o (x + x2) для x^, поэтому、 P = х + Х2 + о (Х + Х2). В первом случае основную часть можно считать a = x. 2-й а = х + Х2. В частности, справедлива следующая Лемма. Лемма 5. X K, x∈K, x как предельная точка множества X. / Для функции P X ^ K для x ^ ^ x имеет основную часть вида a (X-x) Й, AΦ.Здесь A и V являются константами, которые определяются однозначно среди всех основных частей этой формы. Это справедливо только если A = A и V = ви. Я не уверен.

Понятие основной части функции полезно для изучения бесконечно малых и бесконечно малых чисел, оно используется при решении различных математических задач. analysis. In во многих случаях бесконечно сложная аналитическая форма в окрестности данной точки может быть заменена более простой (в некотором смысле) функцией с бесконечно малым высшим порядком. Например, P (x)=P (x) = A (x-x) d + o ((x-x) d), что является максимумом в случае x> x0, бесконечно малая бесконечность, бесконечно малая бесконечность (x), выше, чем (x-Xo) d, работает в окрестности Укажите на x как функцию, которая должна быть A (x-xo) d.

В качестве примера мы покажем, как метод разделения основной части десятичной дроби применяется для расчета пределов function. In кроме того, широко используется полученное соотношение эквивалентности (8.26). Так что вам нужно найти предел(и таким образом доказать, что он существует). Используя вышеизложенное (см. отношения(8.26)）、 Валентность 1N (1 + u)〜и u ^имеют 1n (1 + x + x)—x + x в x^, поэтому (см. теорему 1) 1n (1 + x + x)= = х + Х2 + о(Х + Х2).Однако o (x + x2)= o(x) (почему?) И быть X>x2 = o (x)、 Кроме того, агентство работает от 3 до 3 раз、 agszx 3х = 3х + о(Х3)= Х3 + о(Х). Также ясно, что это 5x = o (x).Из асимптотического уравнения получаем 8W 2x-2×8 Вт Х2 = Х2 + о (Х2)= 2х + о(Х).

Двадцать два от Х-Х a ^ 2 x = x2 + o (x2)= o (x), и(ex-1)5〜x5, аналогично、 (Пример-1) 5 = x5 + o(x5)= o(x). Все эти отношения справедливы для x^. Теперь у нас есть 1П(1 + х + х2)+ х3 ags81n-5×3 = = Х + О (х)+ 3х + о(Х) О (х)= 4х + о(Х）、 81n 2x + 1 ^ 2 x +(ex-1) 5 = 2x + o (x)+ o (x)= 2x + o (x), следовательно Однако по теореме 4 ^ + o (x)〜4x, а x ^2x + o (x) 2x Итак, предел искомого существует и равен 2. При вычислении пределов функции с использованием метода разделения основной части следует отметить, что если она не учитывается в разделе 8.3, то, в общем случае, заменить десятичную дробь эквивалентной не представляется возможным.

Метод расчета лимитов путем выделения основной части функции очень удобен, прост и в то же время очень популярен. Людмила Фирмаль

Например 。 S1P в Х-Х При нахождении предела формулы 11t p-это х<sup class=»reg»>®</sup>х Ошибочно замените функцию 81n x эквивалентной функцией x из x^. Естественный способ решения такой задачи описан в разделе 13.4. чтобы найти предел выражения в виде н (х) г (х), рекомендуется найти предел логарифма. Рассмотреть 1 / Х2 Хороший пример. Найти предел 11T сои 2x. равенства Некоторые сложности в работе приложения связаны с тем, что до сих пор не существует достаточно популярного способа выделения основной части функции. Эта проблема будет устранена в будущем (см.§ 13). Поскольку экспонента непрерывна, из(8.38).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции

Пусть x₀ есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞, –∞ или +∞.

Определение бесконечно малой функции
Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x₀, если функция имеет предел при x → x₀, и он равен нулю:
.

Определение бесконечно большой функции
Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x₀, если функция имеет предел при x → x₀, и он равен бесконечности:
.

Свойства бесконечно малых функций

Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x₀ является бесконечно малой функцией при x → x₀.

Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции.

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x₀, на бесконечно малую, при x → x₀, является бесконечно малой функцией при x → x₀.
Доказательство ⇓

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при x → x₀.
Доказательство ⇓

Свойства бесконечно больших функций

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x₀, и бесконечно большой функции, при x → x₀, является бесконечно большой функцией при x → x₀.
Доказательство ⇓

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно большой при x → x₀:
,
то их произведение является бесконечно большой функцией при :
.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x₀, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x₀, то
.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x₀:
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой , то
.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Доказательство ⇓

Это свойство имеет два частных случая.

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если , то и .
Если , то и .

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
, или .

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций

Приведенные выше свойства выполняются, если функция ограничена, а функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом. При этом эти функции не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти функции будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Пусть существуют пределы функций
и .
И пусть, при , функция является бесконечно малой:
, а функция – бесконечно большой:
.
Тогда существует пределы суммы и разности:
(A.1) ;
существуют пределы произведений:
(A.2) ;
существуют пределы частного:
(A.3) .

Действительно, если функция имеет конечный предел при , то существует проколотая окрестность , на которой она ограничена (см. «Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел»).
Если функция имеет не равный нулю предел , то существует проколотая окрестность , на которой она ограничена снизу по абсолютной величине числом :
при .
(см. «Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел»).
Тогда, на основе изложенных выше теорем, существуют пределы (А.1 – А.3).

Свойство доказано.

Доказательство свойств и теорем

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Все свойства ⇑ Произведение функции , ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x₀:
при ,
на бесконечно малую , при x → x₀:
,
является бесконечно малой функцией при x → x₀:
.

Доказательство

Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при :
.
И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно малой:
.

Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Все свойства ⇑ Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при x → x₀.

Доказательство

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Все свойства ⇑ Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x₀, и бесконечно большой функции, при x → x₀, является бесконечно большой функцией при x → x₀.

Доказательство

Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно большой при x → x₀:
,
то их произведение является бесконечно большой функцией при :
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел функции при , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена.
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно большой:
.

Поскольку произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Все свойства ⇑ Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x₀, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x₀, то
.

Доказательство

Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки , на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x₀:
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой , то
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

По условию существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
, .

Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Все свойства ⇑ Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также воспользуемся свойством неравенств бесконечно больших последовательностей.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки , на которой
при .

Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . Тогда, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .

Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к , то по определению предела функции по Гейне,
.

Свойство доказано.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 14-06-2018 Изменено: 02-02-2020

21)Определение порядка б.М. И выделение главной части б.М.

Определение порядка бесконечно малой.

Для опред-я порядка малости бесконечной ф-и, ее сравнивают со степенной ф-ей вида:

g(x) = (x-a)ⁿ, (n>0) б.м. при x→a

g(x) = xⁿ, (n>0) б.м. при x→0

g(x) = , (n>0) б.м. при x→∞.

Опред.: пусть f(x) и g(x) = (x-a)ⁿ, (n>0) б.м. при x→a. Если Ǝ==C, где С≠0-конечное число, f(x) - б.м. при x→a имеет порядок малости n.

Выделение главной части бесконечно малых.

Опред.: пусть f(x) и g(x)=C(x-a)ⁿ (где С≠0, n>0 – конечные числа) бесконечно малые при x→a такие, что Ǝ=1. Тогда говорят, что б.м.f(x) при x→a имеет порядок малости n, а величину C(x-a)ⁿ назыв. глав. часть f(x) при x→a.

Теорема о выдел. глав. части б.м.

Если C(x-a)ⁿ – глав. часть б.м. f(x) при x→a, то f(x) при x→a представл. В виде f(x) = C(x-a)ⁿ+0((x-a)ⁿ), (x→a).

Док-во: т.к. C(x-a)ⁿ – глав. часть б.м. f(x) при x→a, то Ǝ=1. Тогда из опред. предела следует, что |< ε приxϵE, 0<|x-a|<ƃ. Т.к. ε-любое сколь угодно малое, то g(x) = – 1 –б.м. приx→a. => g(x) * C(x-a)ⁿ = f(x) – C(x-a)ⁿ или f(x) = C(x-a)ⁿ + + g(x) * C(x-a)ⁿ = C(x-a)ⁿ+0((x-a)ⁿ), (x→a).

________________________________________________________________________

22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.

Эквивалентные б.м. ф-и.

Пусть f(x) и g(x) – б.м. одного порядка малости при x→a. Если Ǝ== 1, то их назыв. эквивалентными б.м.f(x)~g(x) при x→a.

Теорема: предел отношения двух б.м. не изменяется, если каждую из них, или хотя бы одну заменить эквивалентной б.м.

Док-во: пусть f(x)~f*(x), g(x) ~g*(x) – б.м. при x→a.

= ==

Таблица эквивалентных б.м.

sinx~x, при x→0
tgx~x, при x→0
arctgx~x, при x→0
arcsinx~x, при x→0
1-cosx~x², при x→0
a^x-1~x*lna, при x→0
e^x-1~x, при x→0
~, приx→0
ln(1+x) ~x, при x→0
~, при x→0
~, при x→0
~, при x→0

________________________________________________________________________

23)Сравнение б.Б величин .

Опред.1: пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x), a – предельная точка мн-ва Е. ф-я f(x) назыв. б.б при x→a, если = ∞ (ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)|>ε.

Опред.2: пусть f(x) и g(x) – б.б. при x→a.

Если Ǝ, тоg(x) имеет больший порядок роста, чем f(x) при x→a
Если Ǝ, тоf(x) б.б. более высокого порядка роста при x→a
Если Ǝ, тоg(x) и f(x)-б.б. одного порядка роста при x→a.

Для опред-я порядка роста ф-ю f(x) сравнивают с ф-ей g(x):

g(x) = – б.б. приx→a, n>0

g(x) = – б.б. приx→0, n>0

g(x) = xⁿ – б.б. при x→∞, n>0

Опред.3: пусть f(x) и g(x)=C()ⁿ (С≠0б n>0) – б.б. при x→a. Если Ǝ=1, то ф-юназыв. глав. частью б.б.f(x) при x→a, а число n – порядком роста.

________________________________________________________________________

24)Запись на языке (ε+ ƃ) Определение пределов функции.

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε.

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): A-ε<f(x)<A.

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): |f(x)|> ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,|x-a|<ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): |f(x)-A|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a- ƃ <x<ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a <x<a+ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, |x|>ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x<-ƃ): f(x)>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): |f(x)-A|<ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): A-ε<f(x)<A

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): A <f(x)<A+ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): |f(x)|>ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): f(x)<-ε

(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,x>ƃ): f(x)>ε

________________________________________________________________________

Бесконечно малые/бесконечно большие функции : Анализ-I

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возникли трудности с такой задачкой:

Есть две функции:

Для них нужно:

1) Показать, что данные функции и являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента.

Тут вроде все просто:

-- бесконечно малая функция, при

2) Для каждой функции и записать главную часть (эквивалентную ей функцию) вида при или при , указать их порядки малости (роста).

Представим в виде:

Если , то , поэтому

Тогда -- главная часть , -- порядок малости при по сравнению с .

Представим в виде:

Если , то , поэтому

Тогда -- главная часть , -- порядок малости при по сравнению с .

3) Сравнить и .

Следовательно, функция является бесконечно малой низшего более высокого порядка по сравнению с при (но порядок малости -- , а порядок малости -- - что-то здесь не так...)

Буду очень признателен, если кто-нибудь просмотрит мои мысли, может где ошибся (особенно интересен пункт номер 2).

3.9. Бесконечно большие функции и их сравнение

Пусть

и , (4.14)

То есть функции и при по абсолютной величине стремятся к бесконечности. Тогда они называются Бесконечно большими при .

Сравнивают бесконечно большие функции по тому же принципу, что и бесконечно малые. А именно:

1) Если

, (4.15)

То функция называется бесконечно большой функцией Низшего порядка роста, чем бесконечно большая функция . А функция – соответственно Высшего порядка роста, чем .

В частности, очевидно, что функции ; ; ; являются бесконечно большими при , причем каждая последующая из них – высшего порядка роста, чем предыдущая. И вообще, можно доказать (см. главу 4, §4), что любая степенная функция () при является бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем любая показательная функция (). То есть

(; ) (4.16)

Иначе говоря, Любая показательная функция () при растет быстрее, чем любая степенная функция ().

2) Если

, (4.17)

То бесконечно большие функции и называется Эквивалентными (равносильными), и обозначается это так:

, при (4.18)

3) Если

, (4.19)

Где А – конечное число, и , то функции и называется функциями Одного порядка роста. При этом, очевидно, что

при (4.20)

4) Если и при , то, как и для бесконечно малых функций, получаем равенство, аналогичное (4.13):

(4.21)

Пример 5. Показать, что при :

А) ; б) ; в)

Доказательство. Учтем, что (4.18) равносильно (4.17), и вычислив соответствующие пределы, убедимся, что все они равны 1:

А) ;

Б) ;

В) .

Пример 6.

Упражнения

1. Показать, что сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых функций тоже являются бесконечно малыми функциями.

2. Показать, что произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

3. Доказать, что бесконечно малые при Функции и несравнимы между собой, то есть что предел их отношения не существует.

4. Показать, что функция при .

5. Показать, что при .

6. Сравнить бесконечно большие функции и при .

Ответ: при .

< Предыдущая		Следующая >

Бесконечно большая функция - Математическая энциклопедия

Функция переменной $ x $, абсолютное значение которой становится и остается больше любого заданного числа в результате изменения $ x $. Точнее, функция $ f $, определенная в окрестности точки $ x_0 $, называется бесконечно большой функцией, поскольку $ x $ стремится к $ x_0 $, если для любого числа $ M> 0 $ можно найти число $ \ delta = \ delta (M)> 0 $ такое, что для всех $ x \ neq x_0 $, удовлетворяющих $ | x-x_0 | <\ delta $, выполняется неравенство $ | f (x) |> M $.Этот факт можно записать так:

$$ \ lim_ {x \ to x_0} f (x) = \ infty. $$

Следующее определяется аналогичным образом:

$$ \ lim_ {x \ to x_0 \ pm0} f (x) = \ pm \ infty, $$

$$ \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} f (x) = \ pm \ infty. $$

Например,

$$ \ lim_ {x \ to- \ infty} f (x) = + \ infty $$

означает, что для любого $ M> 0 $ можно найти $ \ delta = \ delta (M)> 0 $ такое, что неравенство $ f (x)> M $ выполняется для всех $ x <- \ дельта $. Изучение бесконечно больших функций можно свести к изучению бесконечно малых функций (ср.Бесконечно малая функция), так как $ \ psi (x) = 1 / f (x) $ будет бесконечно малой.

См. Также исчисление бесконечно малых.

Как цитировать эту запись:
Бесконечно большая функция. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Infinito-large_function&oldid=33180
Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи В.И. Битюцкова (составитель), появившейся в Математической энциклопедии - ISBN 1402006098.См. Оригинальную статью.

Бесконечно малая функция - Математическая энциклопедия

Функция переменной $ x $, абсолютное значение которой становится и остается меньше любого заданного числа в результате изменения $ x $. Точнее, функция $ f $, определенная в окрестности точки $ x_0 $, называется бесконечно малой функцией, поскольку $ x $ стремится к $ x_0 $, если для любого числа $ \ varepsilon> 0 $ можно найти число $ \ delta = \ delta (\ varepsilon)> 0 $ такое, что $ | f (x) | <\ varepsilon $ истинно для всех $ x $, удовлетворяющих условию $ | x-x_0 | <\ delta $.Этот факт можно записать так: \ begin {уравнение} \ lim_ {x \ to x_0} f (x) = 0. \ end {уравнение} Далее, символические обозначения \ begin {уравнение} \ lim_ {x \ to + \ infty} f (x) = 0 \ end {уравнение} означает, что для любого $ \ varepsilon> 0 $ можно найти такое $ N = N (\ varepsilon)> 0 $, что для всех $ x> N $ выполняется неравенство $ | f (x) | <\ varepsilon $ правда. Понятие бесконечно малой функции может служить основой общего определения предела функции. На самом деле, предел функции $ f $ при $ x \ to x_0 $ конечен и равен $ A $ тогда и только тогда, когда \ begin {уравнение} \ lim_ {x \ to x_0} f (x) -A = 0, \ end {уравнение} я.е. если функция $ f (x) -A $ бесконечно мала. См. Также исчисление бесконечно малых.

Как цитировать эту запись:
Бесконечно малая функция. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Infinito-small_function&oldid=29188

Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи В.И. Битюцкова (составитель), которая появилась в энциклопедии математики - ISBN 1402006098. См. Оригинальную статью.

Функция. ограничение функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие количества. Концы

ПЛАН ЛЕКЦИИ:

1. Ограничение функции

2. Бесконечно малые и бесконечно большие количества

3. Основные теоремы о пределах и их приложениях

4. Непрерывность функции

Теория пределов

Предел последовательности.

Определение. Последовательность - это бесконечный набор терминов, каждому из которых присвоен номер. Условия последовательности должны подчиняться определенному закону.

₁, ₂, ₃, ₄, , _n, .

Пример.

Определение. Число называется пределом последовательности, если для любого > 0, существует число N () в зависимости от  , например

для n> N,

Замечание:

.

Пример.

.

Определение. Предел переменной - это число , такое, что для любого > 0, существует , начиная с которого все удовлетворяют неравенствам

.

Замечание:

2

 + 

 (  ; +  )

Объекты:

1.Предел постоянного числа равен этому числу.

2. У переменной не может быть двух разных пределов.

3. Некоторые переменные не имеют ограничений.

Пример. . Присваивая значения n целыми числами, получаем: и т.д .; т.е. эта переменная не имеет ограничений.

Определение. Мы говорим, что стремится к бесконечности, если для любого числа , существует такое, что начиная с него

.

(а) M> 0, x> M , x ;

(б) M < 0, x , x  .

Пример. x _n = n ² +1 ; поскольку n , _n стремится к бесконечности.

Предел функции. Предположим, что y = f (x) - функция, определенная в домене D , содержащем точку : D .

Определение. Число b называется пределом функции f (x) как  , если для любого заданного > 0, существует небольшой положительный  в зависимости от  (  ( )> 0 ) такое, что для любого , удовлетворяющего неравенству,.Замечание:

. (1)

Пример. Найдите предел f (x) = 5x1 как x2, и определите .

,

,

т.е.

Чтобы найти , , мы должны найти x из неравенства для функции и подставить его в неравенство для переменной.

Определение. Левый предел функции f (x) как x a - это предел f (x) как x a и <.Замечание:

.

Определение. Правый предел функции f (x) как x a, - это предел f (x) как x a и > . Замечание:

.

Если левый предел равен правому пределу и некоторому числу b , то b является пределом функции как x a.

Пример.

; неопределенность, хотя предел существует:

.

Определение. Число b называется пределом f (x) как  , если для любого > 0, существует (большое) число N в зависимости от  , такое, что для любого .

Замечание:

.

Бесконечно малые и ограниченные функции.

Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой как  , если для любых , существует  , так что всякий раз.

Замечание:

.

Определения. 1. Функция f (x) называется ограниченной в области D , если для любого из D,

| f (x) | M .

Например, f (x) = cos x, | cos x |  1 , M = 1,

.

Если это условие не выполняется, то функция называется неограниченной, т.е. эта функция является бесконечной величиной.

2. Функция f (x) называется ограниченной как  , если для любого из окрестности | f (x) | M .

3 . Функция f (x) называется ограниченной как  , если для любого > N | f (x) | M .

Теорема I. Если функция f (x) имеет конечный предел как xa , то f (x) ограничен как x a .

Теорема II. Если функция имеет предел , и этот предел не равен нулю, то он ограничивается как  .

Бесконечно малые и их свойства.

Определение 1. Функция  () называется бесконечно малой, так как  , если

.

Определение 2. Функция  () называется бесконечно малой как  , если для всех  (-; + )

.

Эти два определения эквивалентны, т. Е. Мы можем получить второе определение из первого и наоборот. (Докажите это).

Теорема I. Если функция f (x) представлена как сумма постоянного и бесконечно малого числа, т.е.е.,

f (x) = b +  (x) , (2)

, то у него есть предел:

.

И наоборот, если функция f (x) имеет предел b , то функция может быть представлена в виде (2).

Теорема II. Если  () бесконечно малая величина, как  , то это бесконечная величина.

Теорема III. Сумма конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой:

 ₁ () +  ₂ () +  ₃ () + +  _{() =  ().}

Теорема IV. Изделие  (х) ^. z (x) бесконечно малого  () ограниченной функцией z (x) , поскольку x a бесконечно малое.

Следствие. Продукт бесконечно малых - еще меньшее количество.

Теорема V. Бесконечно малое, деленное на функцию, имеющую ненулевой предел, как  , является бесконечно малым, т. Е. Если

, то бесконечно малая величина.

Дата: 02.01.2015; просмотр: 1322

.
IELTS Writing Task 2 пример ответов

В этом посте мы рассмотрим несколько примеров ответов на вопрос IELTS Writing Task 2 и прокомментируем их сильные и слабые стороны. Мы также поговорим о том, что писатель может сделать, чтобы набрать больше очков в каждом случае. Образцы ответов были написаны участниками курса подготовки к IELTS здесь, в Лондонской школе английского языка. Вы также можете увидеть образцы ответов на письменное задание части 1 в нашем предыдущем сообщении в блоге.

IELTS, задание 2 - это эссе. Вот пример возможного вопроса, за которым следуют два разных ответа.

Некоторые люди утверждают, что перерабатывается недостаточное количество бытовых отходов. Они говорят, что единственный способ увеличить переработку отходов - это сделать это законодательным требованием. Как вы думаете, насколько необходимы законы, чтобы заставить людей перерабатывать больше своих отходов?

Ответ 1

В последние годы значительно увеличивается объем бытовых отходов.Кроме того, никто не пытается решить проблему и призвать правительство. Многие думают, что власти должны принять какие-то законы, чтобы поддерживать процесс утилизации. Я расскажу о юридических требованиях как о способе увеличения переработки и других способах.

Во-первых, должны ли люди быть обязательными для переработки отходов? Проблема окружающей среды - одна из главных проблем нашего мира, и мы ей не помогаем. Правительству следует принять некоторые решения о переработке и, возможно, обложить налогом доход.Например, если вы не уважаете хороший мусорный бак или производите слишком много мусора, вас следует наказать. Обычно люди поступают правильно только из-за правил, так что можно сделать человека экологически чистым. Более того, вместо того, чтобы наказывать людей, они могли дать людям вознаграждение за их добрые дела или даже большое количество переработанных отходов.

С другой стороны, многие способы также могут повысить ответственность за переработку. Законы - не единственный результат, есть способ кого-то вознаградить.В Пекине, например, можно поменять пластиковую бутылку на билет в метро. Это может быть причиной того, что люди больше перерабатывают и стараются больше знать об экологии. Кроме того, в некоторых странах в школах хорошо известно понимание того, что переработка отходов. Учителя учат детей, как перерабатывать отходы, зачем и куда их складывать. Рано люди узнают и лучше улучшат процесс переработки.

Таким образом, регулирование этого процесса могло бы вызвать у людей желание перерабатывать свои бытовые отходы.Однако даже с учетом налогов и правил утилизации людей должно быть вознаграждение. Помимо правительства, школа должна иметь большое влияние и подчеркивать, насколько важны действия с самого раннего возраста. Насколько я понимаю, я считаю, что если люди перерабатывают меньше, они должны уменьшить количество отходов.

Комментарии

Кандидат в целом ответил на вопрос хорошо. Он обсудил основную идею задачи, используя законы, заставляющие людей перерабатывать, но он также обсудил другие варианты (вознаграждение людей и образование).Некоторые идеи кандидата неясны или требуют дальнейшего развития, например, когда он говорит о налогообложении доходов. Ответ обычно хорошо организован; он состоит из четырех параграфов, и у каждого есть четкая функция (введение / обсуждение законов применения / обсуждение других вариантов / заключение). Существует хороший набор связующих выражений («во-первых», «например», «более того», «с другой стороны»), хотя есть и некоторые повторения (идея вознаграждения людей упоминается в конце второго абзаца. и снова в начале третьего абзаца).Его словарный запас в целом ясен, и он пытается использовать менее распространенный словарный запас, но это не всегда точно. Например, «уважать хороший ящик» должно означать «складывать мусор в правильный контейнер», а «сенсибилизация» должна означать «повышение осведомленности» (в обоих случаях кандидат перевел со своего родного языка). С точки зрения грамматики, здесь снова есть несколько хороших сложных предложений («вместо наказания людей они могут дать вознаграждение»), но также есть немало ошибок, например, с временами («в последние годы увеличивается количество бытовых отходов», «никто не пробует») и причастия («вы должны быть наказаны», «люди должны быть вознаграждены».)

Вероятно, этот ответ будет равен 6.5. Его сильные стороны - его организованность и тот факт, что писатель хорошо справился с задачей, и его позиция в целом ясна. Однако из-за ошибок в грамматике и лексике он не может быть выше 6.5.

Ответ 2

Некоторые считают, что количество перерабатываемых бытовых отходов недостаточно. Переработка очень важна для уменьшения количества отходов и защиты окружающей среды. Тем не менее, люди не могут увеличивать переработку, если они вынуждены в соответствии с законодательством.В этом эссе я рассмотрю способ повышения уровня утилизации с помощью законов или иных законов и объясню свое мнение.

Принятие законов может быть лучшим способом побудить людей утилизировать вторичное сырье, потому что не многие люди пытаются утилизировать его по собственному побуждению. Например, когда они покупают алюминиевые банки для напитков, они могут переработать их для повторного использования. Хотя их нужно помыть, растолочь и отнести в место сбора. Этот процесс может беспокоить людей. Следовательно, они могут не захотеть перерабатывать, потому что их легче выбросить.Когда существуют законы, касающиеся вторичной переработки, люди вынуждены утилизировать, что способствует увеличению скорости вторичного использования с высокой вероятностью.

С другой стороны, есть и другие способы заставить людей эффективно утилизировать отходы. Один из способов - вознаградить людей, которые много раз перерабатывают. Вознаграждение, такое как деньги и скидки, побуждает их увеличивать переработку. Если люди могут получить билеты со скидкой всякий раз, когда они приносят что-то на переработку, они могут с энтузиазмом сдавать их.Кроме того, образование можно увеличить переработку. Если люди с детства узнают о важности вторичной переработки и способах ее переработки, они смогут обойтись без особых усилий.

В заключение, введение законодательства, возможно, позволит людям более эффективно утилизировать переработку отходов, однако поощрение или обучение их также может стать хорошим методом. На мой взгляд, законы необходимы, чтобы заставить людей больше перерабатывать, потому что им не нужна мотивация, которую трудно поддерживать.

Комментарии

Этот кандидат также хорошо ответил на вопрос. Она обратилась к основной идее задачи (сделать переработку обязательной), а также к другим решениям (поощрение людей и образование). Однако есть также некоторая не относящаяся к делу информация, например, во втором абзаце о процессе переработки. Этот ответ также хорошо организован; писатель также использовал четыре абзаца, каждый из которых выполняет четкую функцию. Опять же, существует широкий спектр связывающих выражений («например», «хотя», «следовательно», «дополнительно», «в заключение»).Однако есть некоторое повторение словарного запаса, которого можно было бы избежать (слова «переработка» и «переработка» используются восемь раз в третьем абзаце). С точки зрения грамматики, есть несколько хороших сложных структур («когда есть законы…… людей заставляют…. Что способствует….») Вместе с несколькими основными ошибками («создание законов может быть»). Кандидат использует словарный запас, как правило, ясный и понятный, но не всегда точный или естественный («повторное использование», «образование позволяет увеличить повторное использование», «может заставить людей беспокоиться»)

Этот ответ, вероятно, также даст 6.5. Его можно улучшить, если больше говорить о том, почему законы о переработке могут быть хорошей идеей, вместо того, чтобы обсуждать, почему люди избегают переработки. Лучшее использование слов-ссылок («это», «это» и т. Д.) Поможет избежать повторения, о котором мы упоминали ранее. Кроме того, если бы словарный запас кандидата был более точным, у нее было бы больше шансов повысить свой балл.

Если вы читали нашу серию статей о советах и стратегиях IELTS, это, вероятно, означает, что вы готовитесь к сдаче IELTS.Итак, всего наилучшего на экзамене! Если вам нужна дополнительная помощь в подготовке к экзамену IELTS, воспользуйтесь приведенными ниже ссылками, чтобы найти информацию о наших курсах подготовки к IELTS и остальных сообщениях в блоге с советами по IELTS.

Этот пост написал Дарах, один из наших преподавателей Лондонской школы английского языка.

Статьи по теме

Курсы подготовки к IELTS в Лондонской школе английского языка

Мы предлагаем четырехнедельные и восьминедельные курсы подготовки к IELTS.Эти интенсивные курсы посвящены языковым навыкам и методам экзаменов, которые помогут вам набрать необходимый вам балл:

Вы также можете подготовиться к IELTS с помощью нашего онлайн-курса, который включает более 150 часов содержания:
.
9 самых распространенных форм и способы их определения

Вы, наверное, много узнали о формах, даже не задумываясь о том, что они собой представляют. Но понимание того, что такое фигура, невероятно удобно при сравнении ее с другими геометрическими фигурами, такими как плоскости, точки и линии.

В этой статье мы рассмотрим, что такое фигура, а также множество общих фигур, как они выглядят и основные формулы, связанные с ними.

Что такое форма?

Если вас спросят, что такое форма, вы, вероятно, сможете назвать довольно много из них. Но «форма» тоже имеет особое значение - это не просто названия кругов, квадратов и треугольников.

Форма - это форма объекта, а не то, сколько места он занимает или где находится физически, а реальную форму, которую он принимает. Круг определяется не тем, сколько места он занимает или где вы его видите, а скорее реальной круглой формой, которую он принимает.

Форма может иметь любой размер и появляться где угодно; они не ограничены ничем
.
Смотрите также

Желтые выделения после кесарева через месяц

Коричневые выделения гематома при беременности

Почему нет выделений после вакуумной аспирации

Черные выделения из уха у человека

Коричневые выделения у девочек 13 лет

Лактожиналь выделения при лечении

Тянущиеся липкие выделения

Белые выделения и неприятный запах в интимной зоне

Молочные густые выделения

Жабрей медонос выделение

Выделения в виде творога у женщин