Правила выделения полного квадрата

Выделение полного квадрата - формулы, методы и примеры решений

Однако не все его знают. В результате этого объем вычислений увеличивается, а также допускаются ошибки. Он также применяется для нахождения корней уравнений и построения графиков.

Общая информация

Выделить полный квадрат из многочлена второй степени означает, что его следует привести к более читабельной формуле. Эта операция применяется в следующих случаях: интегрирование, дифференцирование, построение графиков и решение уравнений (чаще — в последних двух).

За основу взяты три формулы сокращенного умножения (разложение квадратного многочлена на множители), которые специалисты рекомендуют запомнить или выписать отдельно.

К ним относятся следующие соотношения:

1. Квадрат суммы: (y + z)^2 = y ² + 2yz + z ² .
2. Квадрат разности: (y — z)^2 = y ² — 2yz + z ² .
3. Разность квадратов: y ² — z ² = (y — z)(y + z).

Существует правило, позволяющее выполнить операцию упрощения многочлена ay ² + by + c второй степени путем разложения его на множители. Это означает, что его следует свести (преобразовать) к виду a * (y — y0)^2 + y0.

Универсальный алгоритм

Алгоритмом называется комплексное решение, состоящее из последовательного набора правил. Преобразование ay ² + by + c осуществляется следующим образом:

1. Привести к такому виду первое слагаемое на основании формулы (y + z)^2 = y ² + 2yz + z ² : [(a)^(½) * y]^2. Корень из коэффициента «а» следует указывать обязательно.
2. Второе слагаемое должно состоять из удвоенного произведения: by = [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)].
3. Третий свободный член находится по формуле z = (b / [2 * (a)^(½)].
4. Для равновесия следует отнять число, полученное в пункте 3.
5. Записать результат нужно таким образом: [(a)^(½) * y]^2 + [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c.

Для квадрата разности алгоритм похожий. Формула выделения полного квадрата имеет такой вид: [(a)^(½) * y]^2 — [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c. Соотношение также применяется математиками в алгебре, а также в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Для этого нужно воспользоваться таким подробным объяснением правил решения:

1. Запись формулы: ay ² — c = ((a)^(½) * y — (c)^(½))((a)^(½) * y + (c)^(½)).
2. Коэффициент «с^(½)» должен быть равен целому числу.
3. Если условие во втором пункте не выполняется, то следует воспользоваться таким соотношением: с + a — a= с1 — a.
4. Записать выражение в таком виде: ay ² — c + a — a = ((a)^(½) * y — (c1)^(½))((a)^(½) * y + (c1)^(½)) — a.

Число «а» может быть положительным или отрицательным. Если его прибавить к «с», то должно получиться значение «с1».

При извлечении квадратного корня результат должен быть целым. Чтобы равенство не нарушалось, следует прибавить и отнять «а».

Алгоритм записан в общем виде. В теории он является сложным для понимания.

Однако при практическом применении некоторые неясности исчезают. Для начала нужно разобрать, где его нужно применять.

Сферы использования

Математики рекомендуют разобрать основные примеры выделения полного квадрата. Следует их систематизировать, поскольку это позволит оптимизировать процесс решения. Основной смысл заключается в применении соответствующих алгоритмов для экономии времени.

Некоторые считают, что шаблонами пользоваться нежелательно. Однако в этом есть и свои положительные стороны. Например, при поступлении в какое-либо высшее учебное заведение следует придерживаться общепринятых вариантов решения. При успешном зачислении в университет можно применить нестандартные подходы выполнения задания.

Шаблоны широко применяются не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но и в программировании.

Распространенными заданиями с упрощением квадратного трехчлена являются:

• построение графиков квадратичной функции;
• решение уравнений;
• упрощение выражений.

Для нахождения решений следует подробно разобрать алгоритмы. Нет необходимости заучивать основные определения, формулы и правила. Их следует понимать, поскольку в философии есть такой закон: «переход количества в качество». Кроме того, программистами были созданы специальные онлайн-калькуляторы, позволяющие получить полный квадрат, разложить многочлен на множители и так далее.

Построение графиков

Графиком квадратичной функции z = a[y — c]^2 + d является кривая, которая называется параболой. Далее следует ввести следующие пояснения:

1. Коэффициенты «а» и «с» — некоторые числа. Последнее вычисляется по такой формуле: с = b / 2a.
2. Константа «d» является свободным членом.

Следует отметить, что расположение графика функции зависит от вышеописанных коэффициентов. Для построения параболы математики рекомендуют разобрать частные случаи:

1. Направление ветвей: вверх (a > 0) и вниз (a < 0).
2. Смещение вершины на величину «с»: по оси ОУ в положительную сторону (c > 0), по ОУ в отрицательном направлении (c < 0) и находится на ОХ (c = 0).
3. Смещение по ОХ: в сторону положительных значений на (b / 2a) и отрицательных — (-b / 2a).

Уравнение параболы всегда нужно приводить к правильному виду, поскольку график будет строить намного проще. Кроме того, его можно построить, зная частные случаи, и схематически.

Нахождение корней

Решить квадратное уравнение вида az ² + bz + с = 0 означает найти все его корни или доказать, что их нет. Его можно решать несколькими методами: нахождение дискриминанта, использование теоремы Виета или представление в виде квадрата.

При использовании первого метода нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Упростить выражение (выведение общего множителя, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых).
2. Вычисление дискриминанта: D = (-b)^2 — 4ac.
3. Разобрать частные случаи, и выбрать ход решения, который зависит от значения D: при D > 0 решением уравнения являются два значения или корня (z1 = -b — D^(½) / 2a и z2 = -b + D^(½) / 2a; D = 0 — один корень (z = -b / 2a) и D < 0 — нет корней.
4. Подставить корни, полученные при решении, и проверить уравнение — значение в левой части должно быть равно нулю (0 = 0).

Вид квадратного уравнения зависит от коэффициентов a, b и c. Если а = 0, то старшая степень исчезает, и тождество превращается в обыкновенное линейное равенство (bz + c = 0) или функцию, графиком которой является прямая, а не парабола. При а = 1 его можно решить при помощи второго способа, который называется теоремой Виета (z1 + z2 = - b и z1 * z2 = с). Когда b = 0 (az ² + c = 0), то дискриминант можно не высчитывать. Решение находится следующим образом:

1. Нужно перенести свободный член «с» в правую сторону. Если с < 0, то решений нет. Когда значения c > 0, необходимо перейти ко второму шагу решения.
2. Разделить обе части на «а».
3. Вычислить корни по формулам (будут одинаковыми числами, но с разными знаками): z1 = -[c/a]^(½) z2 = [c/a]^(½).

Когда коэффициент с = 0 (az ² + bz = 0), то решить уравнение очень просто.

Для этого нужно произвести такие действия:

1. Сократить обе части на «a».
2. Вынести за скобку общий множитель: z (z + b/a) = 0.
3. Решить два уравнения: z1 = 0 и z2 + b/a = 0.
4. Проверить корни, подставив в исходное тождество.

Третий способ — выделение квадрата или использование формул сокращенного умножения. В этом случае нет необходимости использовать стандартный первый метод. Если построить график функции, то корнями будут являться его точки пересечения с осью абсцисс. Можно получить решения при помощи математических преобразований. Последний считается менее точным способом, поскольку корнями могут быть иррациональные числа, а не действительные.

Упрощение выражений

Бывают случаи, когда следует решить уравнение, упростив его. Например, чтобы решить равенство (2z ² — 5z + 7) + (z + 5)(z + 3) = 0, нужно раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. Этот способ называется методом математических преобразований.

В некоторых случаях следует возвести в квадрат, а затем привести подобные слагаемые. После этого необходимо опять воспользоваться формулами, сгруппировав элементы.

Этот шаг позволяет оптимизировать процесс вычислений. Например, нет необходимости подставлять численные значения в выражение z ² + 4z + 16 + z ² — 16. Его можно просто упростить: z ² + 8z + 16 + z ² — 16 = (z + 4)^2 + (z — 4)(z + 4) = (z + 4)(z + 4 + z — 4) = 2z (z + 4).

Пример решения

Необходимо решить квадратное уравнение z^2 + 20z + 50 = 6z + 5 несколькими способами, используя следующие методы: нахождение дискриминанта, формул разложения, теоремы Виета и построить график. Вычисление корней первым методом (через дискриминант) выглядит таким образом:

1. Упростить выражение: z^2 + 20z + 50 - 6z - 5 = z^2 + 14z + 45.
2. Вычислить дискриминант: D = 14^2 - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16 = 4^2.
3. Осуществить анализ второго пункта: если D = 16 > 0, то значит у уравнения два корня.
4. Первый корень: z1 = (-14 - 4) / 2 = -9.
5. Второе решение: z2 = (-14 + 4) / 2 = -5.
6. Проверка: (-9)^2 + (-9) * 14 + 45 = 81 - 126 + 45 = 0 и (-5)^2 + (-5) * 14 + 45 = 25 - 70 + 45 = 0.

Два корня подходят, поскольку равенство 0 = 0 соблюдается. Специалисты рекомендуют опускать проверку, поскольку задача решается несколькими способами.

Второй метод заключается в использовании теоремы Виета. Произвести поиск корней довольно просто, поскольку а = 1. Воспользовавшись формулами z1 + z2 = - 14 и z1 * z2 = 45, можно подобрать корни: z1 = -9 и z2 = -5.

Третий метод заключается в использовании формул разложения. Их разрешается применять несколько раз и в любом порядке. Алгоритм решения выглядит таким образом:

1. Разложить на множители (формула квадрат суммы): z^2 + 14z + 45 = z^2 + 14z + 45 + 4 - 4 = (z^2 + 14z + 49) - 4 = (z + 7)^2 - 4.
2. Использовать формулу разности квадратов двух чисел: (z + 7)^2 - 4 = (z + 7 - 2)(z + 7 - 2) = (z + 5)(z + 9).
3. Записать в виде уравнений: (z + 5) = 0 и (z + 9) = 0.
4. Корни: z1 = -5 и z2 = -9.

Использование графического метода позволит получить точные значения, поскольку во всех предыдущих способах они являются целыми числами. Необходимо записать уравнения параболы (можно воспользоваться вторым пунктом алгоритма третьего метода): (z + 7)^2 - 4. Анализ перед построением выглядит таким образом:

1. Ветви направлены вверх, поскольку a = 1 > 0.
2. Смещение вершины по ОУ на -4 в отрицательном направлении (с < 0), а по ОХ — на 7.

Для построения следует составить таблицу 1 зависимости функции y от аргумента z. По значениям также можно вычислить корни (все y = 0).

Таблица 1. Подготовка к построению.

После подготовки необходимо строить график. Это можно выполнить ручным методом или воспользоваться специализированным сайтом. Последним рекомендуется пользоваться только при проверке правильности решения.

Рисунок 1. Графическое представление y = z^2 + 14 * z + 45.

На графике видно, что корнями уравнения являются числа -9 и -5. Они совпадают с полученными ранее значениями. Следовательно, решение является верным. Числа можно также подставить в исходное равенство.

Таким образом, при решении уравнений, упрощении выражений и построении графиков функций рекомендуется применять формулы сокращенного умножения. Это позволит сохранить много времени.

Урок 28. выделение полного квадрата - Алгебра - 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 28

Выделение полного квадрата

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Квадрат суммы.
• Квадрат разности.
• Преобразование многочленов.
• Выделение полного квадрата.

Тезаурус:

и уметь увидеть их в выражении.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы познакомились с формулами сокращённого умножения и научились раскладывать по ним квадрат разности и квадрат суммы. На этом уроке вы узнаете, как выделить из многочлена полный квадрат.

Этот многочлен можно преобразовать следующим образом.

6а мы представим в виде удвоенного произведения двух множителей: 3 и a:

Далее применим формулу квадрата суммы для двучлена а +3.

Таким образом, получили равенство:

Представим 10у как удвоенное произведение 5 и у:

Применим формулу квадрата разности для двучлена

Выделение полного квадрата используется, например, при доказательстве неравенств или определения знака выражения. Например:

Доказать, что для любых чисел а и в верно неравенство

В левой части неравенства две переменных, поэтому разделим одночлены на две группы. Число 45 можно добавить в любую группу, например, в группу, где переменная b.

Сложим два полученных выражения. В результате получим сумму двух квадратов двучленов:

то и сумма этих выражений будет положительной либо равна нулю. Что и требовалось доказать.

Материал для углублённого изучения темы.

При выделении полного квадрата числа могут получаться не только целыми, но и дробными.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Объяснение: число 6 не является квадратом целого числа, поэтому удобнее вынести его за скобку:

2. Представьте выражение в виде суммы квадратов:

Объяснение: разделим выражение на две группы. Число 50 можем присоединить к любой группе, например к группе, где переменная m.

Получим сумму квадрата двучлена m + 5 и числа 25:

Во второй группе представим 10n как удвоенное произведение 5 и n, прибавим и вычтем 25:

Получим сумму квадрата двучлена n + 5 и числа -25:

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена — Abitu.net

Выражения вида 2x2+3x+5, `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a≠0. 

Рассмотрим квадратный трёхчлен  x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5.Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому

x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1. 

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9x2+3x+1. 

Заметим, что 9x2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда  

`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. 

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем  

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.  

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4x2-12x+5.

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 

2x2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22. 

Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем: 

(2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).  

Разложите на множители квадратный трёхчлен -9x2+12x+5.

-9x2+12x+5=-9x2-12x+5. Теперь замечаем, что 9x2=3x2, -12x=-2·3x·2. 

Прибавляем к выражению 9x2-12x слагаемое 22, получаем:

-3x2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=-3x-22+4+5==-3x-22+9=32-3x-22.

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

 -9x2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3x2-14x-5.

Мы не можем представить выражение 3x2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3.  Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.     

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена   -16x2+8x+6. 

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16x2+8x+6=-4x2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6==-4x-12+7. 

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее  7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.  

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).  

Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3) получаем `(x+5)/(x-3)`. 

Разложите многочлен x4-13x2+36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`

`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`

`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

Разложите на множители многочлен 4x2+4xy-3y2.

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем: 

(2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2==(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).     

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`. 

`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`

`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`

`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`

`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.

Преобразуем знаменатель дроби:

`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`

`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`

`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.

Квадратные уравнения: выделение полного квадрата

Квадратные уравнения можно решать еще до изучения темы «Квадратный корень»: выделение полного квадрата позволяет разложить квадратный трёхчлен на множители.

Рассмотрим на примерах, как можно использовать выделение квадрата двучлена для решения квадратных уравнений.

Выделим полный квадрат из трёхчлена, стоящего в левой части уравнения:

64 представим как квадрат 8:

Левую часть уравнения расложи на множители по формуле разности квадратов:

Получили уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Ответ: -6; 10.

Выделяем полный квадрат:

то есть быть раной нулю левая часть уравнения быть не может. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Разделим обе части уравнения почленно на число, стоящее перед x ²:

Выделим полный квадрат

Ответ: -1,5; -1.

С помощью выделения полного квадрата можно решать квадратные уравнения даже в курсе алгебры 7 класса при условии, что корни — рациональные числа.

Если корни — иррациональные числа, решить квадратное уравнение выделением квадрата двучлена также можно, но уже после введения понятия квадратного корня.

Пример.

Выделяем полный квадрат двучлена

Так как

Ответ:

Хотя выделение полного квадрата для решения квадратных уравнений в курсе алгебры используют редко, не стоит пренебрегать возможностью выработать соответствующий навык, который пригодится в будущем (например, в курсе математического анализа).

Метод выделения полного квадрата

Описание презентации по отдельным слайдам:

Метод выделения полного квадрата a2 +2ab +b2=(a + b)2 a2 - 2ab +b2=(a - b)2

Устно: 1.Решить уравнения: 1) 28x2=0; 2) x2=1 ⁄ 4 ; 3) x2- 25=0; 4) 4x2- 16=0; 5) x2+1=0 2.Найти такое положительное число m, чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности: x2+ 4x + m ; x2+ 16x + m; ; x2+ mx + 4; ; x2-mx + 9  

Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата Задача №1 Решить квадратное уравнение x2 + 2x - 3 =0.

Решение: X2 + 2x-3=0. 1.Перенесём свободный член в правую часть уравнения (ИЗМЕНИВ,ЕГО ЗНАК НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ) X2 + 2x=3, ЛЕВАЯ 2.Левую часть уравнения дополним до полного квадрата , X2 + 2∙x∙1 + 1 3.Но чтобы равенство оставалось верным, к правой части добавим такое же число , что мы дополнили к левой части X2 + 2x∙1 + 1=3+1 X2 + 2x +1 = 4

Решение: 4.Левая часть уравнения является полным квадратом суммы (a + b)2=a2+ 2a+b2 Запишем (x + 1)2=4 5.Значит можно применить теорему x2= d, где x1=√d, x2=-√d x + 1=√4 или x +1=-√4 X +1=2 или x +1=-2 X=2-1 или х=-2-1 Х=1 или х=-3 Ответ: x1=1; x2=-3

Рассмотрим задачу №2 стр.115 Закрепление: решим №429 (1,3,5)

1)X2- 4x-5=0 X2- 4x=5 X2- 2∙2x + 4=5+4 (x-2)2=9 X-2=√9 или x-2=-√9 x-2=3 или x-2=-3 x=5 или x=-1

X2+2x-15=0 X2 +2x =15 X2 +2x + 1=15+1 (x +1)2=16 X +1=√16 или x +1=-√16 X+1=4или x+1=-4 x=3 или x=-5

X2-6x+3=0 X2 -3∙2x =-3 X2 -6x + 9=-3+9 (x -3)2=6 X-3=√6или x-3=-√6 x=3 +√6 или x=3 -√6

Рассмотрим задачу №3 стр.115 Закрепление №430(1) 9X2+6x-8=0 (3X)2 +3∙2x+1 =8 +1 9X2+6x + 1=9 (3x +1)2=9 3X+1=√9 или 3x+1=-√9 3x=3-1 или 3x=-3-1 3x=2 или 3x=-4 X=₂⁄3 или x= -₄⁄3

Что было трудно понять? Как себя оцениваешь? Главное из урока? Дома:№429,430 повторить задачи стр.113,114,115 рассмотренные на уроках

На дорожку Ученик за 3 блокнота и 2 тетради уплатил 40 р, другой ученик за 2 таких же блокнота и 4 тетради уплатил32р. Сколько стоил блокнот и сколько стоила тетрадь?

Спасибо за внимание! Урок окончен

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

. Актуализация : повторение формул сокращённого умножения.

Общая информация

Номер материала: ДБ-140006

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Выделение квадрата | Алгебра

Выделение квадрата двучлена в алгебре применяют в ходе преобразования многочленов.

Как выделить полный квадрат суммы или разности?

Начнём со случая, когда коэффициент при x² равен 1.

Полный квадрат суммы или разности состоит из трёх слагаемых, два из которых — квадраты:

Если нужны выделить полный квадрат из выражения типа

то

Отсюда следует, что b=p/2. Третье слагаемое,  b²,  должно равняться (p/2)². Прибавим его и отнимем, чтобы не изменить выражение.

В общем виде выделение квадрата можно записать так:

Первые три слагаемых можно свернуть как полный квадрат суммы (или разности, зависит от знака перед удвоенным произведением):

Примеры выделения полного квадрата.

Здесь a=x, 2ab=6x, следовательно, b=3. Прибавим к x²+2∙x∙3 квадрат тройки и тут же его вычтем, чтобы не данное выражение не изменилось:

В скобках получили полный квадрат разности. Его свернём по формуле. За скобками — -3²+23, упрощаем и получаем:

Шаг второй.

А как выделить полный квадрат, если перед x² стоит коэффициент, отличный от 1? В этом случае  надо вынести этот коэффициент за скобки, а дальше — аналогично.

Примеры.

Проще всего, если каждое из слагаемых делится нацело на коэффициент при  x².

Если перед x² стоит 2, 5, 10 или другое число, деление на которое приводит к появлению десятичной дроби, удобнее результат деления записывать именно в виде десятичной дроби.

Сложнее всего вычисления в случаях обыкновенных дробей.

В следующий раз рассмотрим, как с помощью выделения квадрата двучлена можно решить квадратное уравнение.

2.2. Прямоугольник

Инструмент «Прямоугольное выделение» предназначен для выделения прямоугольных областей активный слой: это самый простой из инструментов выделения, но очень обычно используется. Для получения информации о выборе и о том, как они используются в GIMP см. Выборки; информацию об общих для всех инструментов выбора функциях см. Инструменты выделения.

Этот инструмент также используется для визуализации прямоугольника на изображении. Чтобы сделать заполненный прямоугольник, создайте прямоугольное выделение, а затем заполните его, используя инструмент Bucket Fill.Самый простой и гибкий подход к созданию прямоугольного контура. состоит в том, чтобы создать прямоугольное выделение, а затем погладить его.

2.2.1. Активация инструмента

Вы можете получить доступ к инструменту выделения разными способами:

• из строки меню изображения → →,

• нажав на значок инструмента в ToolBox,

• с помощью сочетания клавиш R .

2.2.3. Инструмент манипуляции

Рисунок 14.11. Пример выбора прямоугольника.

Когда этот инструмент выбран, указатель мыши отображается следующим образом: как только он закончится изображением. Перетаскивание позволяет получить прямоугольная (или квадратная) форма.Когда кнопка мыши отпущена, пунктирная линия («марширующие муравьи») обводит выбор. Это нет необходимости осторожно корректировать выбор; вы можете изменить его размер легко позже.

Когда указатель перемещается по холсту, указатель и выделение меняются аспекты:

- вне выделения выглядит как раньше; это позволяет проектировать новый выбор, но удалит существующий, если он не объединен с действием на соответствующую клавишу, чтобы добавить или вычесть другой выбор как описано в предыдущем абзаце.

- внутри выделенных периферийных частей указатель мыши изменится на различные формы при полете прямоугольные, чувствительные и четко обозначенные области. Эти ручки позволяют изменять размер выбор. В углах выделения указатель принимает форму в соответствии с контекстом; например в правом нижнем углу это становится: . Итак, перетаскивая эти области, вы можете увеличивать или уменьшать размер выбора.Части выделения выше среднего, боковые, низкие или верхние, указатель изменяется на соответствующие формы в соответствии с контекстом. Например, когда указатель мыши находится над средней правой стороной, указатель выглядит так: . Таким образом, вы можете щелкнуть и перетащить, чтобы увеличить или уменьшить размер выделения на перемещение выбранной границы.

- внутри центральной области выделения указатель мыши выглядит как обычно для манипулирование объектами, то есть: .Таким образом, вы можете перемещать весь выделенный фрагмент одним щелчком мыши.

Более того, если вы не сняли флажок Выделить вариант, ваша работа будет проще, потому что то, что выбрано, будет темнее, чем в выделении, и тогда выделение кажется выделено.

Рисунок 14.12. Области деликатного выбора

После создания и изменения выделения вам нужно будет выйти из этого режим редактирования (и фиксация любых изменений). Вы можете сделать это с помощью одного щелкните внутри выделения или нажав Введите ключ.Или вы можете просто использовать инструмент без выделения и, например, заполнить или раскрасьте выделение.

Рисунок 14.13. Параметры инструмента для прямоугольного выделения

Обычно параметры инструмента отображаются в окне, прикрепленном под Toolbox, как только вы активируете инструмент. Если это не так, вы можете получить доступ их из строки меню изображения через → →, который открывает окно опций выбранного инструмента.

Режим; Сглаживание; Растушевка краев

Общие параметры выбора.

Закругленные углы

Если вы включите эту опцию, появится ползунок. Вы можете использовать это для отрегулируйте радиус, который используется для закругления углов выбор.

Развернуть из центра

Если вы включите эту опцию, точка начала выделения нажатие кнопки мыши используется в качестве центра выделенной области.

Исправлена

Это меню позволяет вам ограничивать форму прямоугольник по-разному.

Соотношение сторон

Этот параметр позволяет создавать и изменять размер выделения. сохраняя фиксированное соотношение сторон и записанное в соответствующая коробка.По умолчанию соотношение 1: 1 (так что у нас есть квадрат), но его можно изменить. С двумя маленькими пейзажами и пиктограммы, вы можете инвертировать это соотношение.

Ширина

С помощью этого выбора вы можете зафиксировать ширину выделения.

Высота

Этим выбором вы можете зафиксировать высоту выделения.

Размер

С помощью этого выбора вы можете исправить ширину и высоту выбор.

Позиция

Эти два текстовых поля содержат текущие значения по горизонтали и вертикали. координаты левого верхнего угла выделения.Ты можешь использовать эти поля для точной настройки позиции выделения.

Размер

Эти два текстовых поля содержат текущую ширину и высоту выбор. Вы можете использовать эти поля для корректировки выбора размер точно.

Выделить

Если вы включите эту опцию, выбранная область будет выделена значком. окружающая маска, чтобы сделать визуальное выделение намного проще.

Гиды

В этом меню вы можете выбрать тип отображаемых направляющих. внутри выделения, чтобы упростить создание выделения, соблюдая Правила композиции фотографий .

Доступны шесть вариантов:

• Нет гидов

• Центральные линии

• Правило третей

• Правило пятых

• Золотые сечения

• Диагональные линии

Выбор автоматического сжатия

Эта опция активна, когда выделен прямоугольник.Щелчок по выбору автоматического сжатия кнопка автоматически уменьшит выделение до ближайшая прямоугольная форма, включая элементы в выделении. Алгоритм поиска наилучшего прямоугольника для сжатия следующий: «Умный», что в данном случае означает, что он иногда делает удивительно сложные вещи, а иногда делает удивительно странные вещи. В любом случае, если регион который вы хотите выбрать, имеет сплошную окантовку, автоматическая усадка всегда подберет его правильно.Обратите внимание, что итоговый выбор не обязательно должен иметь такой же формы, как и тот, который вы выметаете.

Рисунок 14.14. Пример автоматической усадки

Сжатие объединено

Если образец объединен также включен, то автоматическое сжатие будет использовать информацию о пикселях от видимого отображения изображения, а не только от активный слой.Для получения дополнительной информации о слиянии образцов см. запись в глоссарии Образец слияния.

модификаторов и категорий с квадратами для ресторанов | Square Support Center

При создании элементов на панели Square Dashboard у вас есть возможность настраивать и группировать их несколькими способами.

Варианты товара позволяют создавать несколько ценовых пунктов для одного товара. Например: маленький кофе и большой кофе, варианты «маленький» и «большой».

Модификаторы предметов редактировать, изменять или указывать на кухне изменение уже существующего предмета.При необходимости модификаторы также могут увеличить стоимость предмета. Например: лишний авокадо за 0,75 доллара, никаких грибов.

Категории направляет элементы на ваши конкретные принтеры и контролирует внешний вид отчетов.

Группы отображения определяют способ отображения элементов в приложении Square for Restaurants.

Варианты

Варианты предметов добавляются к вашим предметам в процессе создания и лучше всего подходят для разных размеров. В отличие от модификаторов предметов, которые обычно используются для еды (начинки, добавки или специальные запросы), варианты или ценовые категории уменьшат количество ваших запасов, если вы включили управление запасами.Модификаторы предметов не уменьшают инвентарь.

Чтобы узнать больше о том, как создавать варианты элементов, ознакомьтесь с нашей статьей «Управление меню».

Модификаторы

Если вам нужны настраиваемые параметры - начинки, добавки или особые запросы - создайте модификаторы предметов. Модификаторы, применяемые к товарам, будут отображаться в цифровых квитанциях ваших клиентов, из транзакций на вашей онлайн-панели инструментов и в отчете о деталях. Имейте в виду, вы можете скрыть отдельные наборы модификаторов из чеков ваших клиентов.

В отличие от вариантов, используемых для размеров, цветов или артикулов, модификаторы предметов не уменьшают количество запасов, если управление запасами включено.

Создание модификаторов предметов онлайн

1. В элементах на онлайн-панели Square щелкните Модификаторы > Создать набор модификаторов .

2. Введите информацию о модификаторе.

3. Имя набора модификаторов - это то, как ваш набор модификаторов отображается в вашем POS.

4. Добавьте новых опций , это будут ваши индивидуальные модификаторы.

5. Выберите места, где вы хотите, чтобы ваш набор модификаторов был доступен.

   • Клиент может выбрать только одну опцию. сделает модификатор обязательным и позволит выбрать только одну опцию. Лучше всего подходит для таких модификаторов, как температура мяса, сорт хлеба для бутербродов и т. Д.

   • Модификаторы разговора будет включать кнопки «добавить», «дополнительно», «сбоку», «под», «нет» и «аллергия» на экран модификаторов в вашем POS-терминале для более быстрого ввода заказа и улучшения отчетности.

6. Нажмите Сохранить .

В разделе Items> Modifiers вы увидите свои наборы модификаторов при создании и редактировании элементов. Щелкните поле рядом с набором модификаторов, чтобы применить его к элементу.

Применить наборы модификаторов

Вы также можете применять наборы модификаторов из разделов Items и Menus на онлайн-панели Square Dashboard.

1. В разделе «Элементы» на онлайн-панели Square Dashboard щелкните Modifiers .

2. Выберите Применить к элементам и выберите любые применимые элементы> подтвердите Применить к элементам .

Имейте в виду , вы можете выбрать, хотите ли вы, чтобы выбранные модификаторы отображались в гостевых проверках, а также установить минимальное и максимальное количество модификаторов, разрешенных для каждого элемента.

1. В меню на онлайн-панели Square Dashboard щелкните Добавить модификаторы .

2. Если набор модификаторов уже существует, он появится в раскрывающемся меню.Если набор модификаторов не существует, будет опция Create New .

Развитие модификатора

После того, как модификатор включен, вы можете настроить его прогрессию. Для настройки выберите «Автоматически добавлять элемент для проверки» , чтобы добавить элемент после выбора необходимых модификаторов. Если этот параметр отключен, элемент будет оставаться на экране до тех пор, пока не будет выбрано Добавить к проверке .

Модификаторы также появятся на экране в автоматическом прогрессе и напечатаны в том же порядке на билете.Правила автопрогресса следующие:

1. Выбрать место (если сиденье включено)

2. Выберите вариант (например, маленький, средний, большой)

3. Модификаторы

4. Примечания и опции

5. К чеку

Правила модификатора

• Обязательные модификаторы : Набор модификаторов появится автоматически при выборе элемента.

• Без обязательных модификаторов : Набор модификаторов будет доступен для добавления к элементу, но не появится автоматически при выборе элемента.

• Максимальный предел модификатора : При необходимости набор модификаторов будет оставаться на экране до тех пор, пока не будет сделано максимальное количество вариантов выбора. Если не требуется, набор модификаторов позволит выбрать только максимальное количество модификаторов.

• Нет максимального предела модификатора : При необходимости набор модификаторов будет оставаться на экране до тех пор, пока не будет сделан другой выбор или не будет добавлен элемент для проверки.

Примечание : Модификатор устанавливает прогресс в порядке количества требуемых / максимальных требований - от минимального количества требований до максимального.Если несколько наборов модификаторов имеют одинаковые требования, они будут отображаться в алфавитно-цифровом порядке.

Категории

Категории упрощают вашу библиотеку товаров и отчеты о продажах, а также дают вам контроль над тем, что и когда отправлять на определенные принтеры.

Для создания категории:

1. Войдите в Категории из онлайн-панели Square Dashboard.

2. Щелкните Создать категорию .

3. Назовите свою категорию (т.е. Напитки, закуски, закуски).

4. Щелкните Assign Items и установите флажок рядом с каждым элементом, который вы хотите включить.

После того, как вы создали свои категории, вы можете начать настраивать, когда и куда будут отправляться элементы.

Назначить категории принтерам

Создав категории, вы можете назначить их для отправки на отдельные принтеры. Например, все ваши напитки могут быть отправлены на принтер в баре, а все закуски, основные блюда и десерты могут быть отправлены на вашу кухню, чтобы убедиться, что ни один билет не потеряется в хаотичной работе вашего ресторана.

Чтобы назначить категории, вам нужно перейти на Square for Restaurants:

1. На iPad войдите в POS-приложение Square for Restaurants и нажмите Учетная запись > Настройка оборудования . В Square Register выберите Utilities > Settings и перейдите к Printers .

2. Выберите принтерную станцию, которой вы хотите присвоить категории, или создайте новую принтерную станцию.

3. Назовите свой принтер, например «Bar Printer».

4. Менее Печать с этого устройства , вы можете выбрать параметры печати квитанции, счетов и отчетов, а также билеты заказа (билеты, содержащие заказы на еду и напитки) и корешки билетов заказа (пронумерованные билеты для ресторанов быстрого обслуживания)

5. Чтобы назначить категории, вам нужно включить заказных билетов и прокрутить вниз, чтобы выбрать категории, которые вы хотите отправить на этот принтер.

6. Нажмите Сохранить .

Имейте в виду , вам необходимо подключить принтер к вашему устройству, прежде чем вы сможете создать станцию ​​печати и назначить категории.

Назначить категории для прямого огня

Вы можете автоматически отправлять товары определенных категорий на кухню или в бар, если включите настройку «Категории прямого огня» для точек продаж. Например, вы можете разрешить категорию напитков для отправки в бар без курсинга.

Для включения:

1. Зайдите в Square Dashboard> Devices > выберите Points of Sale на панели навигации.

2. Щелкните Сервисные настройки > Категории прямого возгорания.

3. Выберите применимые категории. Предметы в выбранных категориях не будут включены как курс для удержания или стрельбы, поскольку они будут сразу отправлены в заднюю часть дома.

Группы отображения

используются цвет, размер и размещение, чтобы упорядочить элементы меню и упростить доступ к ним в приложении «Рестораны», но они не используются в отчетах.

Для создания группы отображения:

1. Выберите Меню приложений в верхнем левом углу и щелкните Меню .

2. Выберите раскрывающийся список Добавить группу отображения и введите имя своей группы отображения поверх светло-серого Добавить группу отображения и нажмите Enter.

3. Выберите цвет, который вы хотите назначить для своей группы отображения.

4. Нажмите Сохранить .

После того, как вы создали свою группу отображения, она появится на странице меню, и вы сможете начать добавлять элементы.

Чтобы добавить элементы в группы отображения:

1. Выберите Добавить элемент из вновь созданной группы отображения.

2. Прокрутите раскрывающийся список или введите имя элемента, чтобы выбрать нужный элемент для своей группы отображения.

3. Если вам нужно отредактировать или удалить элемент, щелкните имя элемента.

Узнайте больше о том, как начать работу с Square for Restaurants. Посмотрите полное сравнение возможностей Square POS, бесплатного плана Square for Restaurants и плана Plus.

2.2. Прямоугольник

Инструмент «Прямоугольное выделение» предназначен для выделения прямоугольных областей активный слой: это самый простой из инструментов выделения, но очень обычно используется. Для получения информации о выборе и о том, как они используются в GIMP см. Выборки; информацию об общих для всех инструментов выбора функциях см. Инструменты выделения.

Этот инструмент также используется для визуализации прямоугольника на изображении. Чтобы сделать заполненный прямоугольник, создайте прямоугольное выделение, а затем заполните его, используя инструмент Bucket Fill.Самый простой и гибкий подход к созданию прямоугольного контура. состоит в том, чтобы создать прямоугольное выделение, а затем погладить его.

2.2.1. Активация инструмента

Вы можете получить доступ к инструменту выделения разными способами:

• из строки меню изображения → →,

• нажав на значок инструмента в ToolBox,

• с помощью сочетания клавиш R .

2.2.3. Инструмент манипуляции

Рисунок 14.10. Пример выбора прямоугольника.

Когда этот инструмент выбран, указатель мыши отображается следующим образом: как только он закончится изображением. Перетаскивание позволяет получить прямоугольная (или квадратная) форма.Когда кнопка мыши отпущена, пунктирная линия («марширующие муравьи») обводит выбор. Это нет необходимости осторожно корректировать выбор; вы можете изменить его размер легко позже.

Когда указатель перемещается по холсту, указатель и выделение меняются аспекты:

- вне выделения выглядит как раньше; это позволяет проектировать новый выбор, но удалит существующий, если он не объединен с действием на соответствующую клавишу, чтобы добавить или вычесть другой выбор как описано в предыдущем абзаце.

- внутри выделенных периферийных частей указатель мыши изменится на различные формы при полете прямоугольные, чувствительные и четко обозначенные области. Эти ручки позволяют изменять размер выбор. В углах выделения указатель принимает форму в соответствии с контекстом; например в правом нижнем углу это становится: . Итак, перетаскивая эти области, вы можете увеличивать или уменьшать размер выбора.Части выделения выше среднего, боковые, низкие или верхние, указатель изменяется на соответствующие формы в соответствии с контекстом. Например, когда указатель мыши находится над средней правой стороной, указатель выглядит так: . Таким образом, вы можете щелкнуть и перетащить, чтобы увеличить или уменьшить размер выделения на перемещение выбранной границы.

- внутри центральной области выделения указатель мыши выглядит как обычно для манипулирование объектами, то есть: .Таким образом, вы можете перемещать весь выделенный фрагмент одним щелчком мыши.

Более того, если вы не сняли флажок Выделить вариант, ваша работа будет проще, потому что то, что выбрано, будет темнее, чем в выделении, и тогда выделение кажется выделено.

Рисунок 14.11. Области деликатного выбора

После создания и изменения выделения вам нужно будет выйти из этого режим редактирования (и фиксация любых изменений). Вы можете сделать это с помощью одного щелкните внутри выделения или нажав Введите ключ.Или вы можете просто использовать инструмент без выделения и, например, заполнить или раскрасьте выделение.

Рисунок 14.12. Параметры инструмента для прямоугольного выделения

Обычно параметры инструмента отображаются в окне, прикрепленном под Toolbox, как только вы активируете инструмент. Если это не так, вы можете получить доступ их из строки меню изображения через → →, который открывает окно опций выбранного инструмента.

Режим; Сглаживание; Растушевка краев

Общие параметры выбора.

Закругленные углы

Если вы включите эту опцию, появится ползунок. Вы можете использовать это для отрегулируйте радиус, который используется для закругления углов выбор.

Развернуть из центра

Если вы включите эту опцию, точка начала выделения нажатие кнопки мыши используется в качестве центра выделенной области.

Исправлена

Это меню позволяет вам ограничивать форму прямоугольник по-разному.

Соотношение сторон

Этот параметр позволяет создавать и изменять размер выделения. сохраняя фиксированное соотношение сторон и записанное в соответствующая коробка.По умолчанию соотношение 1: 1 (так что у нас есть квадрат), но его можно изменить. С двумя маленькими пейзажами и пиктограммы, вы можете инвертировать это соотношение.

Ширина

С помощью этого выбора вы можете зафиксировать ширину выделения.

Высота

Этим выбором вы можете зафиксировать высоту выделения.

Размер

С помощью этого выбора вы можете исправить ширину и высоту выбор.

Позиция

Эти два текстовых поля содержат текущие значения по горизонтали и вертикали. координаты левого верхнего угла выделения.Ты можешь использовать эти поля для точной настройки позиции выделения.

Размер

Эти два текстовых поля содержат текущую ширину и высоту выбор. Вы можете использовать эти поля для корректировки выбора размер точно.

Выделить

Если вы включите эту опцию, выбранная область будет выделена значком. окружающая маска, чтобы сделать визуальное выделение намного проще.

Гиды

В этом меню вы можете выбрать тип отображаемых направляющих. внутри выделения, чтобы упростить создание выделения, соблюдая Правила композиции фотографий .

Доступны шесть вариантов:

• Нет гидов

• Центральные линии

• Правило третей

• Правило пятых

• Золотые сечения

• Диагональные линии

Выбор автоматического сжатия

Эта опция активна, когда выделен прямоугольник.Щелчок по выбору автоматического сжатия кнопка автоматически уменьшит выделение до ближайшая прямоугольная форма, включая элементы в выделении. Алгоритм поиска наилучшего прямоугольника для сжатия следующий: «Умный», что в данном случае означает, что он иногда делает удивительно сложные вещи, а иногда делает удивительно странные вещи. В любом случае, если регион который вы хотите выбрать, имеет сплошную окантовку, автоматическая усадка всегда подберет его правильно.Обратите внимание, что итоговый выбор не обязательно должен иметь такой же формы, как и тот, который вы выметаете.

Рисунок 14.13. Пример автоматической усадки

Сжатие объединено

Если образец объединен также включен, то автоматическое сжатие будет использовать информацию о пикселях от видимого отображения изображения, а не только от активный слой.Для получения дополнительной информации о слиянии образцов см. запись в глоссарии Образец слияния.

Математические слова: правила квадратного корня

Смотрите также

• 
  Причины кровянистых выделений в постменопаузе
• 
  Желто коричневые выделения при беременности на ранних сроках
• 
  Белые выделения во время месячных
• 
  Резкий запах выделений у женщин
• 
  Желтые выделения без запаха у женщин причины лечение
• 
  Какие выделения при молочнице у беременных
• 
  Могут ли быть выделения из молочных желез перед месячными
• 
  Какие должны быть выделения перед месячными если произошло зачатие
• 
  Выделения при массаже простаты норма
• 
  Выделение воздуха из рабочей жидкости называется
• 
  Выделения после кормления